Holonomía y foliaciones singulares

Una variedad particionada en subvariedades inmersas, también llamadas hojas, es una variedad foliada. Las foliaciones surgen al resolver ecuaciones diferenciales en distintos campos de las matemáticas, como la física matemática y la teoría del control, que tratan el comportamiento de sistemas dinámicos.

Sin embargo, mientras que las foliaciones regulares, con un buen comportamiento, se han estudiado ampliamente, la mayoría de las foliaciones son patológicas. Estas foliaciones singulares, que aparecen en las variedades como un submódulo de campos vectoriales soportados compactamente, fueron el tema principal del proyecto NCGSF (Noncommutative geometry for singular foliations).

Los investigadores formularon la conjetura de Baum-Connes (BC) para cualquier foliación singular. Esta generalización del teorema de Atiyah-Singher mediante conjeturas afirma que los objetos puramente topológicos coinciden con los puramente analíticos. Su demostración fue posible gracias a la construcción de un llamado grupoide de holonomía patológica.

El grupoide de holonomía es una estructura matemática que sigue las simetrías de las foliaciones. Esta fue la clave para desarrollar la parte analítica de la conjetura de BC. En particular, los investigadores introducen la noción de transformación de holonomía, una clase de equivalencia de difeomorfismos.

Para formular la parte geométrica, los investigadores implementaron el modelo de LeGall-Tu. Pero, en primer lugar, fue necesario definir las condiciones para garantizar minuciosamente la diferenciabilidad continua longitudinal del grupoide de holonomía. Solo entonces se pudo formular el modelo de la forma normal de una variedad foliada regularmente alrededor de una hoja compacta.

El método seguido dentro de NCGSF se ha documentado en una serie de tres artículos publicados en revistas internacionales sometidas a revisión. Aprovecha resultados anteriores de los investigadores, que se ampliaron con la construcción del grupoide de holonomía de cualquier foliación singular.