Una teoría universal sobre los grupos parcialmente conmutativos

En grupos parcialmente conmutativos, el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos no depende del orden en el que se escriben. Estos grupos abelianos también se conocen como grupos de Artin de ángulo recto y generalizan la adición aritmética de números enteros.

Los grupos abelianos están estudiados en profundidad por su definición sencilla pero estructura intrínsecamente rica y porque aparecen en distintas ramas de la ciencia dentro y fuera de las matemáticas. Para estudiarlos, los matemáticos han pensado en distintas nociones para dividirlos en piezas menores y más fáciles de comprender.

En el marco del proyecto LIMITGROUPS (Limit groups over partially commutative groups), financiado por la Unión Europea, los matemáticos estudiaron qué grupos surgen como subgrupos de los grupos parcialmente conmutativos. Además, examinaron un grupo conmutativo parcialmente que encaja en otro.

En concreto, los matemáticos estudiaron cuándo dos grupos parcialmente conmutativos son equivalentes universalmente en términos de capacidad de encaje. Este análisis les permitió reducir un problema lógico a uno algebraico. Los resultados les ofrecieron herramientas nuevas para abordar el problema.

Como herramienta teórica para determinar cuándo un grupo parcialmente conmutativo es subgrupo de otro, el grafo de extensión resultó ser insuficiente, por lo cual los matemáticos propusieron un algoritmo que puede decidir si existe o no un encaje para dichos grafos. También se definieron las condiciones en las cuales es posible decidir el problema del encaje.

El estudio de la capacidad de encaje permitió conocer mejor la geometría de los grupos parcialmente conmutativos. Se estableció una nueva conexión entre la capacidad de encaje y la clasificación casi isométrica de grupos, que es importante para la teoría geométrica de grupos.

El trabajo del proyecto LIMITGROUPS se solapa con distintas ramas de las matemáticas. Además de proporcionar vínculos inesperados entre disciplinas distintas, los resultados han abierto nuevas vías de investigación en cada área.