Explorando la mecánica geométrica

Las formulaciones de Hamilton y Lagrange son dos formulaciones básicas de la mecánica clásica a la vez elegantes y generales, en el sentido en que proporcionan un marco unificado para tratar del mismo modo distintos sistemas físicos que van desde las partículas clásicas y los cuerpos rígidos hasta las teorías de campos y los sistemas cuánticos. Desde mediados del siglo pasado, las teorías de la mecánica clásica y los campos clásicos han evolucionado en paralelo con las áreas en eclosión de las matemáticas como la geometría diferencial y la teoría de los grupos de Lie.

El objetivo del proyecto «Geometric mechanics» (GEOMECH), financiado por la Unión Europea, fue reunir a científicos que trabajan en la «geometrización» de las teorías físicas. Para ello aplicaron las herramientas y el lenguaje de la mecánica geométrica moderna con el fin de investigar, por ejemplo, sistemas mecánicos con ruedas rodantes sin deslizamiento o con ciertos tipos de contacto con deslizamiento. Estos sistemas son ejemplos de los sistemas llamados no holónomos. A diferencia de los sistemas lagrangianos o hamiltonianos clásicos, estos sistemas más generales están sujetos a restricciones en las velocidades y, bastante a menudo, su comportamiento es contrario a la intuición. En el contexto del proyecto GEOMECH, matemáticos de siete países compartieron sus conocimientos sobre estos sistemas no holónomos y profundizaron en el conocimiento actual de su comportamiento. Además, se ha estudiado la discretización de los sistemas mecánicos de tipo no holónomo y la construcción de integradores numéricos para ellos.

Los científicos de GEOMECH también trataron el efecto de la simetría en la mecánica y la teoría de campos. Matemáticamente, las simetrías se representan mediante acciones de grupos de Lie y se pueden utilizar para reducir el número de grados de libertad del sistema en el cual actúan agrupando estados equivalentes y aprovechando la aparición de cantidades que se conservan.

En el marco de la teoría clásica de campos se introdujo un principio variacional, llamado el principio de Hamilton-Pontryagin. Los científicos de GEOMECH mostraron que las ecuaciones de campos que resultan se pueden describir como una extensión del concepto de estructura de Dirac.

También se ha avanzado en el estudio de sistemas mecánicos dependientes del tiempo, que se describieron como un caso especial de la teoría de campos, y en el análisis geométrico diferencial de ecuaciones diferenciales de segundo orden, incluido el problema inverso del cálculo de variaciones. Esto último trata con el problema de investigar si un sistema de ecuaciones diferenciales es equivalente a un sistema lagrangiano o no.

La colaboración codo con codo entre los socios de GEOMECH dio lugar a la publicación de más de ochenta artículos en revistas sometidas a revisión o cargados en arXiv. Los vínculos establecidos con la investigación realizada por físicos proporcionaron una oportunidad única para hacer aflorar nuevas ideas que sirven como apoyo a la investigación de las matemáticas. Se espera que la unión de sus esfuerzos surta efecto sobre el futuro de la mecánica geométrica en Europa.